# Egységtörtek mint gondolkodásmodellek: ### **ókori elvektől a 21. századi tudományokig** Szabó Péter$^{a}$, Preklet Edina$^{b}$ $^{a}$Soproni Egyetem, Faipari Mérnöki és Kreatívipari Kar, Kreatívipari Intézet $^{b}$Soproni Egyetem, Faipari Mérnöki és Kreatívipari Kar, Alaptudományi Intézet DOI: https://doi.org/10.35511/978-963-334-570-2-07 **Kivonat:** Az ókori Egyiptom matematikai világa sok szempontból eltért a mai gondolkodástól, mégis meglepően kreatív megoldásokat kínált. A mai mérnöki világ a matematika alapjain nyugszik, ennek ellenére sokszor jelentősen eltérhet a mérnöki és a matematikai szemlélet. A mérnöki hétköznapokban az egyszerűsítések, kerekítések és a “szokások” sokszor megelőzik a tiszta matematikai logikát. Ezek a különbségek jól szemléltethetőek az egyiptomi törtek használatakor. Az egyiptomi hétköznapokban nagyon fontos szerepe volt a törteknek, a földterületek kimérésénél, a termények szétosztásánál. Azonban a 2/3-ad kivételével minden törtet egységtörtek összegeként írtak fel. A matematikai műveleteket így talán nehezebb elvégezni, de a gyakorlatban a “mérnöki” feladatokat, a valódi szétosztásokat könnyebben lehetett így megvalósítani. Az ókori gondolkodásmód a mai mérnökök számára is inspirálóan hathat arra, hogy akár egy egyszerű feladatot is meg lehet oldani több, különböző módon is. A mesterséges intelligencia világában a mérnökképzésben a kreatív gondolkozásmód fejlesztése lehet az elsődleges feladat. E cikk célja, hogy az egyiptomi egységtörtek bemutatása mellett ösztönző analógiákat, gondolkodásmódokat mutasson be, melyek a történeti érdekességektől a modern fizikai és zenei párhuzamokig terjednek. **Kulcsszavak:** egyiptomi matematika, egységtörtek, Rhind-papirusz, matematikaoktatás, pedagógiai szemléltetés, algoritmikus gondolkodás **Abstract:** The mathematical world of ancient Egypt differed in many ways from today's thinking, yet it offered surprisingly creative solutions. Today's engineering world is based on mathematics, yet the engineering and mathematical approaches can often differ significantly. In everyday engineering, simplifications, rounding, and "customs" often take precedence over pure mathematical logic. These differences can be clearly illustrated by the use of fractions in Egypt. Fractions played a very important role in everyday life in Egypt, in measuring land and distributing crops. However, with the exception of 2/3, all fractions were written as the sum of unit fractions. This may have made mathematical operations more difficult to perform, but in practice, it made "engineering" tasks and actual distributions easier to carry out. The ancient way of thinking can inspire today's engineers to solve even a simple task in several different ways. In the world of artificial intelligence, developing creative thinking may be the primary task in engineering education. The purpose of this article is to present Egyptian unit fractions and to introduce inspiring analogies and ways of thinking, ranging from historical curiosities to modern physical and musical analogies. **Keywords:** Egyptian mathematics, unit fractions, Rhind Papyrus, mathematics education, pedagogical illustration, algorithmic thinking ### **1. Bevezetés** A mérnökképzésben markánsan is jelentkezhetnek azok a nehézségek, amelyek a formális matematika és az absztrakt gondolkodás közötti átmenethez kapcsolódnak. Megfigyelhető az algoritmikus gondolkodás hiánya, a többféle megoldási stratégia párhuzamos keresésének elmaradása. E készségek ugyanakkor fejleszthetők olyan tartalmak és módszertani keretek használatával, amelyek hatékonyan támogatják e kompetenciák erősítését. A matematika és a történelem kapcsolatában olyan didaktikai potenciált látunk, amely a történelmileg igazolt alkalmazásoknak köszönhetően csökkenti az előítéleteket, növeli a tanulási motivációt, és lehetővé teszi egy játékos, kutatói attitűd kialakulását [1],[2],[3]. A törtekkel kapcsolatos gondolkodás fejlesztése nem kizárólag a matematikaórák keretei között valósulhat meg; hatékonyan integrálható projektalapú tanulási helyzetekbe is. Megértésük elősegítésére különösen alkalmasak a mindennapi életből vett elosztási problémák, amelyek szemléletes kiindulópontot biztosítanak a fogalomalkotáshoz és az elmélyült mérnöki tudásépítéshez. Tegyük fel, hogy van 5 cipónk, melyeket 7 ember között kell elosztani úgy, hogy mindenki ugyanakkora darabot kapjon. A mai matematikai formalizmus alapján a megoldás kézenfekvő: mindenki megkapja mindegyik cipó hetedét. Vagy mindegyik cipóból kivágunk 2 db, 1/7-ednyi részt, így öten 5/7 cipót kapnak, a maradék két ember pedig a 5 db 1/7-nyi részt. Ha azonban a helyzetet tényleges osztozkodással oldjuk meg, hamar kiderül, hogy az „ötheted” közvetlen kimérése nem magától értetődő művelet. Amennyiben a cipókat sorban szeretnénk felvágni és kiosztani, akkor az első ember 5/7-ed részt kap a második ember a megmaradt 2/7-ednyi cipót, amihez a következőből még jár neki 3/7-ed, így 4/7-ednyi cipó marad a következő embernek, amihez még 1/7-ednyi részt kell adni… (1. ábra) Egy ilyen megoldás szinte lehetetlenné teszi a gyakorlatban a felosztást, főleg, ha nagyon sok ember között kell sok-sok mindent szétosztani. Az ókori Egyiptomban az írnokok nap mint nap szembesültek hasonló problémákkal [6], ezért gyakorlatiasabb módon közelítettek a feladathoz: először mind az öt embernek adtak egy-egy fél cipót, majd a megmaradt cipókból 1/6 részeket kezdtek kivágni. Mindenkinek adtak egy ilyen hatodnyi egységet. A szétosztás után a maradék kis cipót, hét részre osztották, amiből mindenkinek jutott még egy-egy darabnyi. Így az egyiptomi felírás szerint mindenki az alábbi módon kapta meg a részét: 1/2+1/6+1/21, ami egyenlő azzal, hogy mindenki 5/7 rész cipót kapott (1. ábra). <img src="https://data.tesuli.hu/szaboo/svg/svg0016.svg" width="1000" height="1000" style=" width:100%; height:100%; aspect-ratio: 1/1; border:7px solid #ffffff;"> **1. Ábra** A cipók elosztása (Forrás: saját szerkesztés) Ez a módszer nem csupán kulturális érdekesség, hanem gyakorlati racionalitással is bírt. A gabona, kenyér vagy sör adagolásánál a felezés, harmadolás, negyedelés technikailag egyszerűen kivitelezhető volt, míg egy „négyötöd rész” kimérése önmagában nehézkesebb. Az egységtörtek használata tehát nemcsak számolási konvenció, hanem a mindennapi életben is jól alkalmazható eszköz volt. A magyarországi általános iskolások 5. évfolyamban már találkoznak az egységtörtek fogalmával, definíció szintjén. Jellemzően nem különböztetik meg az egységtörteket a törtektől, illetve az egyiptomi számolás logikája csak ritkán kerül elő a tanórákon. Definíció: Egy egységtört olyan törtszám, amelynek számlálója 1, és nevezője egy pozitív egész szám. , ahol n ∈ Z+, n≥1 Egy ilyen feladattípus jól szemlélteti a mérnöki megközelítés lehetőségeit. A gyakorlatban kényelmesebb elosztást eredményez az egységtörtek használata, annál mint amit a tiszta matematikai megoldás jelentene. Érzékelhetővé válik, hogy a matematika történeti fejlődése különböző gondolkodásmódokon keresztül ment végbe, amelyek mind gyakorlati problémák megoldására irányultak. Hasonló történeti példákon be lehet mutatni, hogy a szögfüggvények vagy a logaritmus bevezetését milyen gyakorlati “mérnöki” feladatok inspirálták. A kreatív, mérnöki gondolkodásmód kialakításának az az egyik alapja, hogy megértsék, hogy milyen úton, sokszor kerülőúton jutottunk el oda, ahol a tudomány ma tart. Ez segíthet abban is, hogy a mérnökeink később inspiráló új megoldásokat merjenek létrehozni a múlt tapasztalataira támaszkodva. ### **2. Egyiptomi matematika** #### 2.1. Matematikai források Az ókori Egyiptom matematikai tudásáról csak töredékes, de rendkívül értékes írott emlékekből alkothatunk képet. A matematika nem önálló tudományágként létezett, hanem az adminisztráció, a földmérés, az építés és a gazdasági nyilvántartás szolgálatában álló gyakorlati tudás volt. Az írnokok – az akkori társadalom képzett elitje – a számításokat mindennapi feladatokhoz használták: gabonaelosztás, építőanyag-számítás, földmérés, adó megállapítás vagy éppen a piramisok dőlésszögének meghatározása során. A számrendszer tízes alapú, de nem helyiértékes volt, a különböző nagyságrendeket külön hieroglifák jelölték egészen az egymillióig. Az összeadás és kivonás a jelek kombinálásával történt, a szorzást és osztást pedig duplázások és felezések sorozatával végezték el – ez az eljárás később „egyiptomi szorzásként” vált ismertté. A legfontosabb források közül a Rhind-matematikai papirusz [6] mellett kiemelkedik a Moszkvai papirusz (Kr. e. ~1850), amely tizenegy bonyolultabb geometriai feladatot tartalmaz, köztük egy csonkagúla térfogatának meghatározását – ez a világ legrégebbi ismert térfogatszámítása. Szintén jelentős az Egyptian Mathematical Leather Roll (ca 1650 BCE), amely kisebb törtfelbontásokat rögzít, és feltehetően a gyakorló írnokok segédeszközeként szolgált [8]. Az Anasztázi-papiruszok (különösen az Anastasi I) az építkezési logisztikát és az erőforrás-elosztást példázzák, szatirikus hangvételű oktatási szövegek formájában. E források együttese alapján körvonalazható az egyiptomi matematika fő jellemzője: additív és konkrét logika, amely az egész számokra és az oszthatóságra épül. Az egyiptomi írnok nem elvont szabályokat követett, hanem mindig konkrét mennyiségekkel, mértékegységekkel dolgozott. A számításokat gyakran táblázatokba rendezték, és a bonyolult műveleteket megkettőzéssel, részekre bontással és ellenőrzéssel végezték el. Ez a módszer nemcsak praktikus, hanem didaktikus is: a tanuló írnok a műveletek logikai szerkezetét ismerte meg, nem pusztán az eredményt. #### 2.2. Rhind matematikai papirusz A Rhind-matematikai papirusz az ókori Egyiptom egyik legjelentősebb írott forrása, amely nemcsak matematikai, hanem kulturális és oktatási szempontból is páratlan dokumentum. A papirusz Kr. e. 1650 körül keletkezett, az Újbirodalom hajnalán, de maga a szöveg valószínűleg több évszázaddal korábbi, a Középbirodalom idején íródott forrásokra épült. A mű szerzőjeként ismert Ahmesz (Ahmose) írnok saját megfogalmazása szerint „egy régi irat másolata alapján” készítette el a papiruszt – vagyis a szöveg már az ókorban is tananyagnak számított. A papiruszt Alexander Henry Rhind skót régiségkereskedő vásárolta 1858-ban Luxorban, és róla kapta később a nevét. A dokumentum ma a British Múzeum gyűjteményében található (BM 10057 és BM 10058) meg. A tekercs eredetileg mintegy 6 méter hosszú és 32 centiméter széles volt, és 87 különálló matematikai feladatot tartalmazott. 
A Rhind-papirusz szerkezete világosan tagolt [6]
A bevezető szakasz a 2/n-táblát tartalmazza, amely az egyiptomi törtszámítás alapját képezte. 
A középső rész számos aritmetikai és geometriai feladatot mutat be, köztük terület-, térfogat- és gabonaelosztási példákat. A záró szakasz különféle gyakorlati problémákat tárgyal – például a piramisok lejtésszögének kiszámítását, a raktározási arányokat, illetve az élelmiszeradagok elosztását. A papirusz egyértelműen oktatási céllal készült. A feladatok nem csupán megoldásokat tartalmaznak, hanem a „hogyan” kérdésre is választ adnak: lépésenként mutatják meg a számítás menetét, ami a tanulás folyamatát segítette. Ez a didaktikus szerkesztés teszi a Rhind-papiruszt az ókori világ egyik legkorábbi „tankönyvévé”. Tartalmi szempontból a dokumentum híd az elméleti tudás és a gyakorlati alkalmazás között. Az írnok számításai additív logikára épülnek: minden művelet összeadásra és megkettőzésre vezethető vissza. Ez a gondolkodásmód egyszerre mutatja az egyiptomiak gyakorlati éleslátását és absztrakciós képességét. A Rhind-papirusz tehát nemcsak a matematika történetének korai fejezete, hanem egy olyan intellektuális pillanatkép, amelyből a számolás, a mérték és az oktatás fogalmai egyszerre érthetők meg. A dokumentumon keresztül kirajzolódik egy civilizáció, amely a mérés és arányosság logikájában látta a világ rendjét – s ezzel megvetette a későbbi tudományos gondolkodás alapjait. ##### 2.2.1. A Rhind papirusz 2/n táblázata A papirusz első oldalain található az úgynevezett 2/n-táblázat, amely megmutatja, miként bontották fel a 2/n alakú törteket, páratlan n egész szám esetén (3-tól 101-ig) egységtörtek összegére (2. ábra). A táblázat valószínűleg tanulási segédletként szolgált, és a számítások egységes módszerrel készültek, bár ennek pontos eljárása máig vita tárgyát képezi. <img src="https://data.tesuli.hu/szaboo/svg/svg0017.svg" width="1000" height="1000" style=" width:100%; height:100%; aspect-ratio: 1/1; border:7px solid #ffffff;"> **2. Ábra** A Rhind papirusz 2/n egységtört felosztása (Forrás: saját szerkesztés) Az egyik elképzelés szerint az egyiptomi írnokok egy egyszerű, egész számokra épülő eljárással jutottak el ezekhez a felbontásokhoz [7]. A módszer lényege, hogy egy adott n számhoz olyan m egész számot választottak, amelyre teljesül a $ \frac{2}{n} \left( \frac{m}{m} \right) =\frac{2}{n} \left( \frac{a+b+c+d}{m} \right) =\frac{2a}{nm} +\frac{2b}{nm} +\frac{2c}{nm} +\frac{2d}{nm}\tag{1} $ Ilyen feltételek mellett az m értékének pozitívnak kell lennie, és az a, b, c, és d is osztója a nevezőnek. Ilyen “m” számok kiválasztása elsőre nem tűnik könnyűnek, de elméleti alapon sok kizárást lehet tenni. Vizsgáljuk meg egy ilyen kiválasztás lehetőségét a gyakorlatban, bontsuk fel a 2/29 törtet egységtörtek összegére (2. ábra). A Rhind papirusz alapján az “m” értékét az alábbi számok listájáról választották ki: 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60. Az írnok a konkrét példában az m=48 értéket használta, (48=29+12+4+3). A 29, 12, 4 és a 3 is osztója a 29∙48-nak. $ \frac{2}{29} \left( \frac{48}{48} \right) =\frac{2}{29} \left( \frac{232+174+58+24}{48} \right) =\frac{2\cdot 232}{29\cdot 48} +\frac{2\cdot 174}{29\cdot 48} +\frac{2\cdot 58}{29\cdot 48} +\frac{2\cdot 24}{29\cdot 48}\tag{2} $ $ \frac{2}{29} =\frac{1}{24} +\frac{1}{58} +\frac{1}{174} +\frac{1}{232}\tag{3} $ Ezzel a művelet pusztán egész számok összeadására és oszthatósági viszonyaira épült – pontosan olyan logikai műveletekre, amelyek az ókori egyiptomi aritmetika alapját képezték. Ezzel a módszerrel a Rhind-papirusz 2/n táblázata közel 90 %-ban pontosan reprodukálható, a maradék esetek pedig kis eltérésekkel ugyanilyen logikai úton levezethetők. Az írnokok választását nemcsak matematikai, hanem pszichológiai preferenciák is befolyásolták: előnyben részesítették az páros, kerek és kis számokat, valamint azokat a felbontásokat, amelyek kevés tagból álltak. A Rhind-papirusz egységtörteken alapuló számításai a mai napig relevánsak a felsőoktatásban alkalmazott gondolkodásfejlesztő megközelítések szempontjából. Az óegyiptomi matematika additív szemlélete – amely az egész számokból és oszthatósági viszonyokból kiinduló, lépésről lépésre építkező gondolatmenetet tükrözi – hozzájárul a törtek szerkezeti megértéséhez. Ez a megközelítés világossá teszi, hogy a törtműveletek nem pusztán formális szabályok, hanem logikailag felépített, koherens gondolkodási folyamatok eredményei [8]. Az egységtörtek rendszerének újraértelmezése így nemcsak történeti érdekesség, hanem olyan pedagógiai erőforrás is, amely támogatja a mintafelismerés, a strukturális látásmód és az analitikus gondolkodás fejlődését is. ##### 2.2.2. Rhind papirusz 50. feladat Az ókoriak matematikai gondolkodására és az írnokok képzésére nézzük meg a papirusz 50. feladatát. A Rhind-matematikai papirusz egyik legérdekesebb és legtöbbet elemzett részlete ez a kör területének kiszámításával foglalkozó 50. feladat. Ez az ókori Egyiptomból fennmaradt legrégibb ismert geometriai közelítés, amelyben Ahmesz írnok nem képletet alkalmaz, hanem egy arányelv alapján végzi el a számítást. A módszert a papirusz világosan, lépésenként közli, így nemcsak számítási, hanem oktatási célokat is szolgálhatott. A feladat szerint egy kilenc khet (1 khet ≈ 52,3 m) átmérőjű kör alakú földdarab területét kell meghatározni. Az írnok az átmérő egykilenced részét kivonja, majd a maradék nyolc khetet megszorozza önmagával. Az így kapott hatvannégy lesz a terület értéke setatban, vagyis négyszög-khetben. A papirusz tehát azt tanítja, hogy a kör területe megközelítőleg egyenlő az átmérő nyolc-kilencede négyzetével. Az eljárás mögött egy figyelemre méltóan pontos arány rejtőzik: ha a mai képletet, $A = r^{2}\pi$, ezzel az egyiptomi szabállyal hasonlítjuk össze, kiderül, hogy a papirusz a π értékét 3,16-nak tekintette – ez alig tér el a modern 3,14-től. Az eredeti papiruszon a hieratikus (írott) szöveg olvasható. A hieroglif (nyomtatott) átíráson a művelet logikai szerkezete is látható (3. ábra). A számolás rendkívül szemléletes: a műveleteket az írnok nem absztrakt módon, hanem konkrét mértékegységekben, földmérési kontextusban végzi el. A 9-ből kivont 1/9-ed rész nem pusztán algebrai művelet, hanem a kör „lekicsinyítésének” tapasztalati elve, amely azt mutatja, hogy a kör valódi területe kissé kisebb, mint a befoglaló négyzeté. A feladat szövege egyben pedagógiai minta is: az írnok részletesen elmagyarázza, mit kell kivonni, mit kell megszorozni, és miként kell az eredményt értelmezni. Ezzel a Rhind-papirusz tananyaggá válik, amelyben a geometriai művelet lépései világosan követhetők. A példából az is kiderül, hogy az egyiptomi matematika nem elméleti képletek gyűjteménye volt, hanem a mérésekre és a gyakorlati tapasztalatra épülő gondolkodásmód. <img src="https://data.tesuli.hu/szaboo/svg/svg0018.svg" width="1000" height="1000" style=" width:100%; height:100%; aspect-ratio: 1/1; border:7px solid #ffffff;"> **3. Ábra** A Rhind papirusz 50. feladat (Forrás: saját szerkesztés) Az 50. feladat tehát nemcsak egy korai területszámítás, hanem egy gondolkodási modell is: az arányok megértésén alapuló, empirikus geometria. Ahmesz módszere azt mutatja, hogy az ókori Egyiptomban a számítás nem absztrakció, hanem a világ rendjének megmérése volt – és a matematika az arányosságon keresztül vált a rend megértésének eszközévé. ### **3. Meglepő analógiák** Az analógiák alkalmazása a magasabb szintű gondolkodás fejlesztésének egyik leghatékonyabb eszköze, mivel lehetővé teszi, hogy a hallgatók különböző tudásterületek szerkezetét egymásra vetítsék, és ezáltal mélyebb fogalmi megértést alakítsanak ki. Az egységtört-felbontások különösen gazdag terepet biztosítanak ilyen „absztrakciós hidak” létrehozásához. Ezek az analógiák didaktikailag azért különösen értékesek, mert a hallgatók számára átláthatóvá teszik, hogyan jelennek meg hasonló szerkezeti elvek a matematika, a fizika, az informatika és a zene világában. A kapcsolódási pontok felismerése nemcsak a fogalmi mélyülést támogatja, hanem fejleszti az interdiszciplináris gondolkodást és az absztrakciós képességet is, amelyek kulcsszerepet játszanak a természettudományos műveltség és a kreatív problémamegoldás kialakításában. #### 3.1. A greedy algoritmus A greedy algoritmus (magyarul: mohó algoritmus) egy olyan algoritmusos megközelítés, amelynek lényege, hogy minden lépésben a pillanatnyilag legjobb (legkedvezőbbnek tűnő) választást tesszük meg, abban a reményben, hogy ez globálisan is a legjobb megoldáshoz vezet. Azaz mindig azt választjuk, ami adott pillanatban a legjobb, nem vizsgálva a későbbi következményeket. Egyszerű és gyors módszer, mert nem kell minden lehetőséget végiggondolni, ugyanakkor nem ad mindig optimális megoldást, de bizonyos problémáknál garantáltan működik. Klasszikus példája a pénzvisszaadás: ha 786 forintot kell visszaadni a magyar pénz címletekkel (500, 200, 100, 50, 20, 10, 5), a greedy algoritmus mindig a lehető legnagyobb érmét választja először, majd a következő legnagyobbat, és így tovább. Használhatjuk a raktárkészlet kezelésre is a „mohó algoritmus” logikáját. Képzeljünk el egy raktárt, ahol egy bizonyos mennyiségű terméket kell kiadnia, de csak egységnyi mennyiségű, különböző méretű konténerekben áll rendelkezésre. Feladatunk tehát, hogy kiadjunk 5/6 tonna terméket. Van 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 …stb. tonnás konténerből 1-1 darab. Az elv, amit követünk, hogy mindig a legnagyobb rendelkezésre álló, de a még hiányzó mennyiségnél nem nagyobb konténert használjuk fel. Hiányzik 5/6. A legnagyobb konténer, ami belefér, az 1/2 (mivel 1/2=3/6<5/6). Kiveszi: 1/2. Maradék: 5/6-1/2=2/6=1/3. Hiányzik 1/3. A következő legnagyobb konténer, ami belefér, az 1/3. Kiveszi: 1/3. Végeredmény: 5/6=1/2+1/3. Greedy algoritmus használatos a tevékenységválasztásos (Activity Selection Problem) problémáknál. Egy nap több előadás közül szeretnénk a legtöbbet meghallgatni. A greedy algoritmus mindig a leghamarabb befejeződő előadást választja ki először. Ebben az esetben bizonyítható, hogy valóban optimális megoldást ad. garantáltan optimálisak útvonal- és hálózati problémák esetén, például minimális feszítőfa keresése problémánál (Kruskal- vagy Prim-algoritmus). Az analógia pedig abban van, hogy az egyiptomi egységtört-felbontás sok esetben úgy készült, hogy az ókori írnokok egy greedy algoritmushoz hasonló elvet követtek, pontosan a greedy stratégia lényegét, a mindig a legjobb pillanatnyi választást. Módszerüknék mindig a lehető legnagyobb egységtörtet választották ki, amely nem nagyobb a keresett törtnél. Írjuk fel a 5/7-et egyiptomi módon. - A legnagyobb egységtört, ami nem nagyobb 5/7-nél, az 1/2.
– Levonjuk: 5/7 – 1/2 = 3/14. - A legnagyobb egységtört, ami nem nagyobb 3/14-nél, az 1/5 (mert 1/5 < 3/14 < 1/4) 
– Levonjuk: 3/14 – 1/5 = 1/70. - Így: 5/7 = 1/2 + 1/5 + 1/70. Történeti szempontból azért különösen figyelemre méltó ez a megközelítés, mert jól látható: noha az egyiptomi írnokok nem rendelkeztek az „algoritmus” fogalmával, számításaikban mégis egyértelműen felismerhető a mai terminológiával élve mohó (greedy) stratégia alkalmazása. Didaktikai nézőpontból ennek bemutatása rendkívül szemléletes, hiszen rávilágít arra, hogy az ókori eljárás nem ad hoc módon működött, hanem egy egyszerű, következetes és reprodukálható „algoritmus” szerint, amely ugyan nem garantálja a legrövidebb felbontást, de stabil és egyértelmű módszert kínál. A mohó algoritmus mint heurisztikus stratégia kiválóan használható gondolkodásfejlesztő eszközként: minimalizmusra törekszik („mindig a lehető legnagyobb lehetséges egységtörtet választja”), gyors, helyi optimalizáción alapul, jól vizsgálható kísérletezés útján. A hallgatók számára különösen értékes, hogy saját próbálkozásaik során megtapasztalhatják: mely esetekben működik hatékonyan a mohó stratégia, mikor vezet suboptimális megoldásokhoz és hogyan válik a hibázás a heurisztikus gondolkodás és az optimális megoldások közötti különbség felismerésének motorjává. Ez a megközelítés egyszerre fejleszti az algoritmikus gondolkodást, a stratégiai tervezést és a kritikus reflexiót, amelyek különösen fontosak a mérnöki, problémamegoldó képességének formálásában [9]. #### 3.2. Erdős-Straus-sejtés Az Erdős–Straus-sejtés a matematika egyik híres, több mint 75 éve megoldatlan problémája, amely az egységtörtekkel kapcsolatos. A sejtés azt állítja, hogy minden kettőnél nagyobb (n≥2) egész szám esetén a 4/n tört felírható három egységtört összegeként. A sejtés formálisan a (1) egyenlet megoldásának létezéséről szól: $ \frac{4}{n} =\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\tag{4} $ ahol n egy tetszőleges 2-nél nagyobb egész szám, és x, y, z pedig pozitív egész számok. A probléma nehézsége éppen az x,y,z nevezők pozitív egész voltában rejlik. Ezt a sejtést Erdős Pál és Ernst G. Straus fogalmazta meg 1948-ban. A sejtést eddig óriási számhatárig (egészen $n≤10^{18}$-ig) igazolták számítógépes kereséssel [10]. Ez azt jelenti, hogy az összes $10^{18}$-nál kisebb n számra találtak megfelelő x,y,z pozitív egészeket. Annak ellenére, hogy rengeteg kutató dolgozott a problémán, és a matematika szinte minden ágából próbáltak támadási felületet keresni, általános bizonyítás vagy ellenpélda azóta sem született. Az Erdős–Straus-sejtés máig a számelmélet egyik legérdekesebb és legmegfoghatóbb megoldatlan problémája. Bár a megoldás maga feltehetően nem hozna azonnali technológiai forradalmat, de a hozzá vezető bizonyítási módszer és a belőle születő új számelméleti ismeretek a jövőben indirekt módon számos terület fejlődését segíthetik elő. A bizonyítás ugyanakkor megerősítené, hogy az egyiptomi törtekkel (egységtörtek összegeivel) való számábrázolásnak van egy alapvető, tiszta struktúrája [4], [5]. Pedagógiai és gondolkodásfejlesztési szempontból a sejtés remek lehetőséget kínál arra, hogy a hallgatók megtapasztalják a nyitott problémákkal való foglalkozás természetét: a rendszerezés, a mintafelismerés, a példagenerálás és a heurisztikus stratégiaalkotás szerepét. A magyar matematikai hagyomány – különösen Erdős kreatív, problémaorientált szemlélete – jól keretezi ezt a megközelítést, és hozzájárul ahhoz, hogy a hallgatók a törtfelbontások kérdését ne csupán technikai feladatnak, hanem a kutatói gondolkodás egyik belépési pontjának tekintsék. #### 3.3. Természettudományok és zene Az egyiptomi egységtört-felbontás alapelve – egy összetett arány kifejezése elemi egységtörtek összegeként – olyan univerzális gondolkodásmódot tükröz, amely a mai tudomány több területén is kimutatható. A zenében például egy akkord felfogható úgy, mint több tiszta hang – „egységhang” – összege. Ahogyan az egyiptomiak egy bonyolultabb törtet egyszerű egységtörtek összegére bontottak, úgy épül fel egy összetett zenei hangzás is egyszerű rezgések kombinációjából. A matematikában a Fourier-sor pontosan ugyanezt az elvet alkalmazza: egy bonyolult, periodikus függvényt felbonthatunk szinusz- és koszinusz-függvények összegeként, vagyis alapelemek összegéből állítjuk elő a teljes képet. Joseph Fourier eredeti motivációja a hővezetési egyenlet megoldása volt, de később belátta, hogy bármely (kellően jól viselkedő) periodikus jel akár végtelen sorozattal is reprezentálható ezeknek az alapelemeknek az összegeként. A közös gondolat az, hogy a komplex egészet elemi, jól kezelhető darabokra bontjuk, majd ezek összegeként újraalkotjuk. Így a törtmatematika, a zene és az analízis összekapcsolódik egy mélyebb szinten: mindegyik esetben az „egységekre bontás” és az „összeadás” műveletei biztosítják a megértést és a szerkezetet. Egy másik szemléletes kapcsolat a modern fizikai analízis köréből az RLC kör vizsgálata során jelenik meg. Egy RLC kör vizsgálatakor a Laplace-transzformáció lehetővé teszi, hogy a differenciálegyenletekkel leírt áram- és feszültségváltozásokat algebrai formában kezeljük. A transzformált térben a komplex impedanciák összeadódnak, és a kimeneti függvény gyakran egyszerű törtek összegeként írható fel, amelyek hasonlóak az egységtörtekhez: minden tag egy jól definiált, könnyen kezelhető komponens. A részleges törtfelbontás, amely a Laplace-transzformáció inverzének előkészítéséhez szükséges, gyakorlatilag ugyanazt az „egységkomponensösszeg” stratégiát alkalmazza, amit az egyiptomi írnokok a tört felbontására használtak. Minden részleges tört az eredeti jel egy elemi összetevőjét reprezentálja, így a komplex jelenség (áram- vagy feszültségváltozás) egyszerű, jól kezelhető részekre bontható. Ez a módszer lehetővé teszi, hogy az időtartományban a rendszer viselkedését egyértelműen és lépésenként rekonstruáljuk. Az egységtörtekhez hasonlóan itt is az egyszerű komponensek összege adja a teljes megoldást. Az egyiptomi egységtört-írás tehát nem csupán történeti érdekesség, hanem a mai tudományos gondolkodás alapmotívumát – a komplex jelenségek egyszerű komponensekre bontását – is előlegezi. #### 3.4. Komponens-alapú modellezés digitális alkalmazásokban A Spotify ingyenesen is használható, kereskedelmi zene-streamelő szolgáltatás, ami másolásvédelemmel ellátott tartalmakat tesz elérhetővé a nagyobb lemezkiadók közreműködésével. A rendszere, bár modern technológiai megoldás, alaplogikájában rokonságot mutat az egyiptomi egységtört-elmélettel, a logikai folytonosságra és az időtlen elvre mutathatunk rá az analógiával. A lejátszási listáinál és javaslórendszerében figyelhető meg, hogy a teljes zenei kínálatot különböző „egységhangokként” vagy zenei elemekként értelmezve kombinálják. Egy dal profilja több jellemzőből (ritmus, hangulat, műfaj) áll össze, amelyek külön-külön mérhetők és összeadhatók. A javasolt lejátszási listák összeállítása során a Spotify „egységtöredékekből” építi fel a teljes hallgatási élményt. Ez a komponens-alapú modellezés lehetővé teszi, hogy a rendszer skálázhatóan kezelje a többmilliós zenegyűjteményt. Az egységtörtekhez hasonlóan minden elem önállóan értelmezhető, de összeadásuk adja a komplex struktúrát. Így az algoritmus gyorsan és hatékonyan tud releváns kombinációkat létrehozni. Az analógia jól szemlélteti, hogy a „komplex egész → elemi részek → újraegyesítés” gondolkodásmód nemcsak matematikai, hanem adat- és algoritmikai kontextusban is működik. ### **4. Következtetés, összefoglaló** Az egyiptomi egységtörtek témaköre kivételes példája annak, hogy a matematikatörténet nem pusztán múltbeli tudásanyag, hanem a jelenkori oktatás számára is releváns gondolkodásfejlesztő forrás. A Rhind-papirusz módszerei, az egyiptomi additív szemlélet logikája és az egységtörtekre épülő felbontási stratégiák mind olyan példákat kínálnak, amelyek segítik a hallgatókat abban, hogy a matematika formális eljárásait mélyebb szerkezeti összefüggésekben lássák. A mohó algoritmus történeti előképeinek felismerése, a heurisztikus problémamegoldás kipróbálása és a hibázás konstruktív szerepének megtapasztalása egyaránt hozzájárul ahhoz, hogy a hallgatók rugalmasabb, reflektívebb és módszertanilag sokrétűbb gondolkodást alakítsanak ki. A tanulmányban bemutatott analógiák – a prímfaktorizációtól a Fourier-sorokon át a zenei felhangrendszerekig – rávilágítanak arra, hogy a komplex rendszerek egységekre bontásának elve a tudomány és a művészet számos területén közös gondolkodási mintázat. Ennek felismerése alapvetően járul hozzá az interdiszciplináris szemlélet kialakulásához, amely a modern mérnökképzés és természettudományos oktatás egyik kulcskompetenciája. A magyar matematikai tradíció – különösen Erdős Pál problémaközpontú, kreatív megközelítése – további inspirációt nyújt ahhoz, hogy a hallgatók ne csupán alkalmazzák a matematikai eljárásokat, hanem aktívan keressék az új összefüggéseket és kérdésfelvetéseket. Az Erdős–Straus-sejtés révén a történelem és a kutatói gondolkodás találkozik, lehetőséget adva arra, hogy a hallgatók megérezzék: a matematika élő, fejlődő tudomány, amelyben a legegyszerűbb fogalmak is mély, feltáratlan struktúrákat rejthetnek. Mindebből az a következtetés adódik, hogy az egységtörtek oktatása – különösen történeti, algoritmikus és interdiszciplináris keretben – hatékony eszköze lehet a felsőoktatási matematika alapjainak megerősítésére és a komplex problémamegoldó gondolkodás fejlesztésére. Az egyiptomi módszerek bemutatása nemcsak szemléletes, hanem egyben hidat teremt múlt és jelen, elmélet és gyakorlat, matematika és más tudományterületek között. Ez a híd pedig azoknak a gondolkodási készségeknek az alapja, amelyekre a 21. század természettudományos és mérnöki képzése épül. ### **Irodalomjegyzék:** 1. Fauvel, J. (1991). Using history in mathematics education. For the Learning of Mathematics, 11(2), 3–6. 2. Tzanakis, C., & Arcavi, A. (2000). Integrating history of mathematics in the classroom. Educational Studies in Mathematics, 42(1), 1–18. DOI:10.1007/0-306-47220-1_7 3. Jankvist, U. T. (2009). A categorization of arguments for using history in mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 71(1), 1–29. DOI: 10.1007/s10649-008-9174-9  4. Salez, Serge E. (2014) Cím: The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to N=1017 Publikáció: arXiv:1406.6307 math.NT  5. Yamamoto Koichi, (1965) On the diophantine equation 4/n = 1/x + 1/y + 1/z, Memoirs of the Faculty of Science, Kyushu University, Series A, Mathematics, Vol. 19, p. 37-47. [https://www.jstage.jst.go.jp/article/kyushumfs/19/1/19_1_37/_pdf](https://www.jstage.jst.go.jp/article/kyushumfs/19/1/19_1_37/_pdf) 6. Chace, A. B., Bull, L., & Manning, H. P. (1927/1929). The Rhind Mathematical Papyrus: Free translation and commentary; & Photographs, transcription, transliteration, literal translation (Vols. I–II). Oberlin, OH: Mathematical Association of America. 7. Blasselle, T., & Gaucherel, C. (2023). The Rhind 2÷n table and fraction reckoning in ancient Egypt: An ingenious combination of summation and divisibility properties. Montpellier: INRAE – Université de Montpellier. 8. Guerrieri, L., Loper, A., & Oman, G. (2022). From ancient Egyptian fractions to modern algebra. The American Mathematical Monthly, 129(9), 795–810. 9. Antoniazzi, M., Barella, G., Barisan, P., Carollo, M., Casagrande, M., Dal Cin, A., Grotto, G., Lorenzon, G., Lucchetta, A., Metaliu, K., Pizzolotto, A. S., Sota, S., Toffolon, M., & Vitali, M. (2018). Egyptian fractions. In F. Breda, F. M. Cardano, & F. Zampieri (Teachers), Math.en.jeans workshop, I.S.I.S.S. “M. Casagrande”, Pieve di Soligo, Treviso, Italy. 10. Mihnea, S., & Bogdan, D. C. (2025). Further verification and empirical evidence for the Erdős–Straus conjecture. arXiv. https://doi.org/10.48550/arXiv.2509.00128